صياغة قانون هاردي-واينبرغ وتحديد شروط تطبيقه الخمسة، وربط كل شرط بالعامل التطوري الذي يستبعده؛
البرهنة على القانون انطلاقًا من جدول تقاطع الأمشاج، واستخلاص النتيجتين الأساسيتين: ثبات الترددات الحليلية وبلوغ التوازن النمطي؛
تفسير لماذا يُبلغ التوازن في جيل واحد بالنسبة لمورثة جسمية بحليلين، ولماذا لا يُبلغ في جيل واحد بالنسبة لمورثة محمولة على الصبغي X؛
حساب الترددات الحليلية انطلاقًا من تردد المظهر المتنحي في حالة السيادة التامة (q = √R)؛
حساب تردد الأفراد الحاملين (2pq) ونسبتهم بين الأفراد غير المصابين، وتقدير خطر انتقال مرض متنحٍ في ساكنة؛
توظيف القانون في الحالات الخاصة: تعدّد الحليلات، ومورثة محمولة على الصبغي X؛
التحقق مما إذا كانت ساكنة في حالة توازن، وتأويل الانحراف عن القيم المنتظرة كمؤشر على فعل عامل تطوري.
2. لماذا نحتاج إلى نموذج مرجعي؟
انتهى الدرس السابق إلى مشكلتين لا يحلّهما وصف الساكنة وحده:
مشكلة الحساب: في حالة السيادة التامة، لا يمكن التمييز بين (A//A) و(A//a) مظهريًا، فتتعذّر معرفة p وq بالعدّ المباشر.
مشكلة التأويل: معرفة الترددات في لحظة معينة لا تخبرنا هل الساكنة مستقرة أم في طور التغير. فالحكم على وجود تطوّر يقتضي مقارنة الملاحَظ بما ينبغي أن يكون عليه الحال في غياب أي عامل تطوري.
يستجيب قانون هاردي-واينبرغ (1908) للحاجتين معًا: فهو يصف سلوك ساكنة نظرية مثالية، فيصير مرجعًا للمقارنة (ما يُسمّى في العلوم نموذجًا صفريًا)، ووسيلة حساب في الوقت ذاته.
3. صياغة القانون وشروط تطبيقه
3.1 الشروط الخمسة
الشرط
معناه
العامل التطوري الذي يستبعده
حجم كبير جدًا (لانهائي نظريًا)
تُلغى التقلبات الإحصائية عند سحب الأمشاج
الانحراف الجيني
البانميكسية (panmixie) والبانغامية (pangamie)
التزاوج عشوائي، والتقاء الأمشاج عشوائي، بلا اختيار للقرين ولا تزاوج بين الأقارب
التزاوج التفضيلي وتزاوج الأقارب
غياب الطفرات
لا ظهور لحليلات جديدة ولا تحوّل حليل إلى آخر
الطفرات
غياب الانتقاء الطبيعي
لجميع الأنماط الوراثية نفس قابلية العيش ونفس الخصوبة
الانتقاء الطبيعي
غياب الهجرة
الساكنة مغلقة، لا دخول أفراد ولا خروجهم
الهجرة
4. البرهنة
نعتبر ساكنة تحقق الشروط أعلاه، لمورثة جسمية (autosomique) بحليلين A وa، ترددهما في المحتوى الجيني p وq.
الخطوة 1 — تكوين الأمشاج. بما أن الانقسام الاختزالي لا يمسّ نسب الحليلات، فإنّ تردد الأمشاج الحاملة لـ A هو p، وتردد الأمشاج الحاملة لـ a هو q.
الخطوة 4 — التحقق من ثبات الترددات الحليلية. نطبّق صيغة الدرس السابق (p = D + H/2):
p′ = p² + ½(2pq) = p² + pq = p(p + q) = p × 1 = p
وبالمثل q′ = q. إذن الترددات الحليلية لم تتغير، وستعطي عند الجيل الموالي نفس الترددات النمطية: التوازن مستقرّ ويدوم بلا حدّ ما دامت الشروط قائمة.
صورة 1 — قيد الإعدادوصف الوثيقة
خطاطة علمية تعليمية بأسلوب كتاب مدرسي، رسم مسطح (flat vector) بألوان هادئة متباينة، تعرض جدول تقاطع الأمشاج (échiquier) في مربع كبير مقسّم إلى أربع خانات متساوية. أعلى الجدول صفّ يحمل الأمشاج الأنثوية: كرية زرقاء مسمّاة «A، تردد p» وكرية برتقالية مسمّاة «a، تردد q». على يمين الجدول عمود يحمل الأمشاج الذكرية بنفس الرمزين والترددين. داخل الخانات الأربع تظهر البيضات المخصبة الناتجة مع ترددها: خانة زرقاء غامقة «(A//A) — p²»، خانتان زرقاوان فاتحتان «(A//a) — pq» لكل منهما، خانة برتقالية «(a//a) — q²». تحت الجدول شريط أفقي مقسّم بنسب مختلفة يمثل حصيلة الجيل الموالي مع التسمية «p² + 2pq + q² = 1»، ويربطه سهم منحنٍ صاعد بالتسمية «الترددات الحليلية تبقى p وq». خلفية بيضاء نظيفة، تسميات بخط عربي واضح مع إبقاء رمزي الحليلين A وa بحرف لاتيني، رسم تخطيطي دقيق وليس فنيًا تجريديًا
5. نتيجتان أساسيتان لا ينبغي الخلط بينهما
ثبات الترددات الحليلية: p وq لا يتغيران عبر الأجيال. هذه النتيجة تسري مهما كانت البنية النمطية الابتدائية للساكنة.
بلوغ التوازن النمطي: تصير الترددات النمطية p² و2pq وq² ابتداءً من الجيل الأول الناتج عن تزاوج عشوائي، وتبقى ثابتة بعده.
هذه النتيجة الثانية خاصة بمورثة جسمية بحليلين. أما في حالة مورثة محمولة على الصبغي X، فبلوغ التوازن تدريجي (انظر 7.2).
هذه هي الفائدة العملية الكبرى للقانون: تجاوز العائق الذي وقفنا عنده في الدرس 36.
6.2 حساب تردد الأفراد الحاملين
الأفراد الحاملون (porteurs sains) هم متباينو الاقتران (A//a)، وترددهم 2pq. ويُميَّز بين حسابين كثيرًا ما يُخلط بينهما:
نسبة الحاملين في مجموع الساكنة: 2pq
نسبة الحاملين بين الأفراد غير المصابين: 2pq / (1 − q²)
عند القيم الصغيرة لـ q، يكون 2pq أكبر بكثير من q²: فمع q = 0,01 نجد المصابين 1 من كل 10 000، والحاملين نحو 1 من كل 50. وهذه الملاحظة هي مفتاح فهم بقاء الحليلات المتنحية الضارة في الساكنة رغم الانتقاء ضدّها: الأغلبية الساحقة منها محمية داخل متبايني الاقتران حيث لا تظهر للانتقاء.
صورة 2 — قيد الإعدادوصف الوثيقة
خطاطة علمية تعليمية بأسلوب كتاب مدرسي، رسم مسطح (flat vector)، مبيان بمحورين: محور الأفاصيل يحمل «تردد الحليل المتنحي q» متدرجًا من 0 إلى 1، ومحور الأراتيب يحمل «التردد» متدرجًا من 0 إلى 1. يظهر منحنيان: منحنى أحمر مقعّر مسمّى «تردد المصابين q²» ينطلق ببطء شديد قرب الصفر، ومنحنى أزرق على شكل قوس مقلوب مسمّى «تردد الحاملين 2pq» يبلغ قمته 0,5 عند q = 0,5. خط عمودي منقّط عند q = 0,1 يقطع المنحنيين، مع تسميتين توضّحان الفارق: «q² = 0,01» و«2pq = 0,18»، وسهم يشير إلى المنطقة قرب الصفر بالتسمية «عند التردد الضعيف، الحاملون أكثر بكثير من المصابين». خلفية بيضاء نظيفة، شبكة خفيفة، تسميات بخط عربي واضح، رسم دقيق علميًا وليس فنيًا تجريديًا
7. حالات خاصة
7.1 مورثة متعددة الحليلات
يُعمَّم القانون بنشر مربع مجموع الترددات. بالنسبة لثلاثة حليلات ذات ترددات p وq وr:
(p + q + r)² = p² + q² + r² + 2pq + 2pr + 2qr = 1
حيث تمثّل الحدود المربّعة الأنماط المتماثلة الاقتران، والحدود المضاعفة الأنماط المتباينة الاقتران.
تطبيق نموذجي (نظام ABO): المظهر O يقابل نمطًا وحيدًا، فيُعطي مباشرة تردد الحليل: f(O) = r² ومنه r = √f(O). ثم يُستنتج الحليلان الآخران من ترددات المظاهر المركّبة: f(A) + f(O) = (p + r)² ومنه p = √[f(A) + f(O)] − r.
7.2 مورثة محمولة على الصبغي X
يجب فصل الجنسين لأن عدد الحليلات لكل فرد يختلف:
الجنس
الأنماط الوراثية
الترددات المنتظرة عند التوازن
الذكور (نصفيّو الاقتران)
X^A//Y ، X^a//Y
p و q
الإناث
X^A//X^A ، X^A//X^a ، X^a//X^a
p² و 2pq و q²
نتيجتان مهمتان:
تردد المظهر المتنحي لدى الذكور يساوي q مباشرة، بينما يساوي q² لدى الإناث. ولهذا تكون الأمراض المتنحية المرتبطة بـ X أكثر شيوعًا بكثير عند الذكور: مع q = 0,08 نجد 8 % من الذكور مصابين مقابل 0,64 % فقط من الإناث.
عندما يختلف تردد الحليل ابتداءً بين الجنسين، لا يُبلغ التوازن في جيل واحد: يتقارب التردد بين الجنسين تدريجيًا بتناقص تذبذبي عبر الأجيال، لأن الذكر يتلقّى صبغيه X من أمه فقط بينما تتلقّى الأنثى صبغيًا من كل والد.
8. اختبار التوازن وتأويل الانحراف عنه
8.1 طريقة التحقق
للحكم على ساكنة معطاة:
تُحسب الترددات الحليلية بالعدّ المباشر انطلاقًا من الأعداد الملاحَظة (p = D + H/2)؛
تُحسب الأعداد المنتظرة بضرب p² و2pq وq² في العدد الإجمالي N؛
تُقارن الأعداد الملاحَظة بالمنتظرة، ويُقاس دلالة الفارق بواسطة اختبار خي مربع (χ²).
إذا كان الفارق غير دال، تُعدّ الساكنة متوافقة مع التوازن؛ وإذا كان دالًا، فالساكنة خارج التوازن.
8.2 قراءة النتيجة
الانحراف عن القيم المنتظرة ليس خطأ في الحساب، بل معطى بيولوجي يجب تأويله بربطه بالشرط الذي يُحتمل أنه انخرم:
نوع الانحراف الملاحَظ
الفرضية التفسيرية المرجّحة
نقص واضح في متبايني الاقتران وزيادة في متماثليه، مع ثبات p وq
انخرام البانميكسية: تزاوج الأقارب أو التزاوج التفضيلي، أو وجود ساكنات فرعية مندمجة إحصائيًا
نقص في نمط وراثي بعينه مقارنة بالمنتظر
انتقاء طبيعي ضدّ هذا النمط (قابلية عيش أو خصوبة أقل)
تغيّر p وq من جيل إلى آخر في اتجاه ثابت
انتقاء طبيعي، أو هجرة، أو ضغط طفري
تغيّر p وq بلا اتجاه ثابت في ساكنة صغيرة
انحراف جيني
9. تطبيقات عددية محلولة
التطبيق (أ): من التردد الحليلي إلى نسبة المظهر السائد
في ساكنة في حالة توازن، صفةٌ يحدّدها حليلان بسيادة تامة، وتردد الحليل المتنحي q = 0,5. ما نسبة الأفراد ذوي المظهر السائد؟
فخّ متكرر: الجواب ليس 50 % (وهي قيمة p، أي التردد الحليلي لا المظهري)، وليس 25 % (وهي p² وحدها، أي متماثلو الاقتران السائدون فقط دون متبايني الاقتران).
التطبيق (ب): مرض متنحٍ جسمي
مرض وراثي متنحٍ يصيب فردًا واحدًا من كل 10 000 في ساكنة متوازنة.
تردد المصابين: q² = 1/10 000 = 0,0001
تردد الحليل المسبِّب: q = √0,0001 = 0,01
تردد الحليل السليم: p = 1 − 0,01 = 0,99
تردد الحاملين في مجموع الساكنة: 2pq = 2 × 0,99 × 0,01 = 0,0198 أي حوالي 2 %، أي فرد من كل 50 تقريبًا
نسبة الحاملين بين غير المصابين: 2pq/(1 − q²) = 0,0198/0,9999 ≈ 0,0198 (الفارق مهمل هنا لضآلة q²)
قراءة: الحاملون أكثر من المصابين بنحو 200 مرة (0,0198 مقابل 0,0001). وهذا يفسّر لماذا يظهر مرض متنحٍ فجأة في عائلة لا سابق فيها للمرض.
التطبيق (ج): مرض متنحٍ مرتبط بالصبغي X
في ساكنة متوازنة، 8 % من الذكور مصابون بعمى الألوان.
المقارنة: الملاحَظ 200/400/400 مقابل المنتظر 160/480/360
الاستنتاج: فائض في متماثلي الاقتران ونقص في متبايني الاقتران، مع بقاء p وq قابلين للحساب كما هما. هذا النمط من الانحراف يوجّه الفرضية أولًا نحو انخرام البانميكسية (تزاوج الأقارب أو بنية الساكنة إلى مجموعات فرعية)، لا نحو تغيّر في الترددات الحليلية.
10. أخطاء شائعة وفخاخ الامتحان
الخلط بين تردد المظهر السائد و p²: المظهر السائد يجمع p² و2pq؛ والأسهل حسابه بـ 1 − q².
تطبيق q = √R دون التنصيص على فرضية التوازن: العلاقة صالحة فقط في إطار نموذج هاردي-واينبرغ، لا بصفة مطلقة.
الاعتقاد بأن الساكنة خارج التوازن النمطي هي ساكنة في طور تطوّر: التطور يعني تغيّر الترددات الحليلية؛ وقد تعود الساكنة إلى التوازن النمطي في جيل واحد بنفس p وq.
القول بأن الحليل السائد يزداد ترددًا لأنه سائد: السيادة علاقة تعبير بين حليلين داخل الفرد، ولا أثر لها إطلاقًا في ترددات الحليلات؛ حليل سائد نادر يبقى نادرًا.
نسيان تعميم الصيغة عند تعدّد الحليلات: تُنشر (p+q+r)² ولا تُستعمل صيغة الحليلين.
تطبيق p² و2pq وq² على الذكور في مورثة محمولة على X: الذكر نصفيّ الاقتران، وترددات أنماطه هي p وq مباشرة.
الخلط بين نسبة الحاملين في مجموع الساكنة (2pq) ونسبتهم بين غير المصابين 2pq/(1−q²): يجب قراءة نص السؤال بدقة لتحديد المرجع المطلوب.
افتراض أن انخرام البانميكسية يغيّر p وq: تزاوج الأقارب يعيد توزيع الحليلات بين الأنماط فقط؛ p وq يبقيان دون تغيير.
الاعتقاد بأن حجمًا كبيرًا للساكنة شرط لثبات الترددات الحليلية في الأفراد: الشرط يهمّ إلغاء التقلبات الإحصائية عند السحب المشيجي، وهو ما سيُدرس تحت اسم الانحراف الجيني.
خلط الترددات بالأعداد في اختبار χ²: المقارنة تُجرى دائمًا على الأعداد الملاحَظة والمنتظرة، لا على النسب.
اعتبار القانون مُبطَلًا لأن شروطه غير محققة في الطبيعة: قيمته منهجية بوصفه نموذجًا مرجعيًا، وانحراف الواقع عنه هو بالضبط ما يكشف عوامل التطور.
11. خلاصة
قانون هاردي-واينبرغ نموذج نظري لساكنة مثالية، يؤدي وظيفتين: الحساب حين يتعذّر العدّ المباشر، والمرجعية التي يُقاس عليها كل انحراف.
شروطه خمسة: حجم كبير جدًا، بانميكسية وبانغامية، غياب الطفرات، غياب الانتقاء، غياب الهجرة — وكل شرط يستبعد عاملًا تطوريًا سيُدرس في الدروس الموالية.
نقص متبايني الاقتران مع ثبات p وq يوجّه نحو انخرام البانميكسية؛ أما تغيّر p وq فيوجّه نحو الانتقاء أو الهجرة أو الطفرة أو الانحراف الجيني.
الدرس الموالي
الدرس 38: الطفرات والهجرة كعاملين لتغير الساكنة. بعد أن حدّدنا الشروط التي تضمن استقرار البنية الوراثية، ننتقل إلى دراسة العوامل التي تُخلّ بها. ونبدأ بالعاملين اللذين يزوّدان الساكنة بالتنوع الحليلي: الطفرة التي تُنشئ الحليلات الجديدة، والهجرة التي تنقلها بين الساكنات.
La loi de Hardy-Weinberg
1. Objectifs de la leçon
À la fin de cette leçon, vous devez être capable de :
énoncer la loi de Hardy-Weinberg et préciser ses cinq conditions d'application, en reliant chaque condition au facteur évolutif qu'elle écarte ;
démontrer la loi à partir de l'échiquier de croisement des gamètes et en dégager les deux conséquences essentielles : la constance des fréquences alléliques et l'établissement de l'équilibre génotypique ;
expliquer pourquoi l'équilibre est atteint en une seule génération pour un gène autosomique à deux allèles, et pourquoi il ne l'est pas pour un gène porté par le chromosome X ;
calculer les fréquences alléliques à partir de la fréquence du phénotype récessif en cas de dominance complète (q = √R) ;
calculer la fréquence des porteurs sains (2pq) et leur proportion parmi les individus non atteints, et estimer le risque de transmission d'une maladie récessive dans une population ;
appliquer la loi aux cas particuliers : allélisme multiple et gène porté par le chromosome X ;
vérifier si une population est à l'équilibre et interpréter un écart aux valeurs attendues comme l'indice de l'action d'un facteur évolutif.
2. Pourquoi un modèle de référence ?
La leçon précédente s'est achevée sur deux problèmes que la simple description d'une population ne résout pas :
Un problème de calcul : en cas de dominance complète, (A//A) et (A//a) sont phénotypiquement indiscernables, et p et q ne sont plus accessibles par dénombrement direct.
Un problème d'interprétation : connaître les fréquences à un instant donné ne dit pas si la population est stable ou en cours de changement. Conclure à une évolution suppose de comparer l'observé à ce qui devrait être en l'absence de tout facteur évolutif.
La loi de Hardy-Weinberg (1908) répond simultanément aux deux besoins : elle décrit le comportement d'une population théorique idéale, ce qui en fait à la fois une référence de comparaison (ce que les sciences appellent un modèle nul) et un instrument de calcul.
3. Énoncé de la loi et conditions d'application
3.1 Les cinq conditions
Condition
Signification
Facteur évolutif écarté
Effectif très grand (théoriquement infini)
les fluctuations statistiques du tirage des gamètes sont annulées
la dérive génétique
Panmixie et pangamie
croisements aléatoires et rencontre aléatoire des gamètes, sans choix du partenaire ni consanguinité
les croisements préférentiels et la consanguinité
Absence de mutation
aucun allèle nouveau, aucune conversion d'un allèle en un autre
les mutations
Absence de sélection naturelle
tous les génotypes ont même viabilité et même fécondité
la sélection naturelle
Absence de migration
population fermée, sans entrée ni sortie d'individus
la migration
4. Démonstration
Soit une population respectant les conditions ci-dessus, pour un gène autosomique à deux allèles A et a de fréquences p et q dans le pool génique.
Étape 1 — Formation des gamètes. La méiose ne modifiant pas les proportions alléliques, la fréquence des gamètes porteurs de A est p et celle des gamètes porteurs de a est q.
Étape 2 — Fécondation aléatoire. La rencontre entre gamète mâle et gamète femelle étant aléatoire, les fréquences des zygotes s'obtiennent par produit des probabilités :
Gamète femelle A (p)
Gamète femelle a (q)
Gamète mâle A (p)
(A//A) : p²
(A//a) : pq
Gamète mâle a (q)
(A//a) : pq
(a//a) : q²
Étape 3 — Fréquences de la génération suivante :
f(A//A) = p²
f(A//a) = pq + pq = 2pq
f(a//a) = q²
Étape 4 — Vérification de la constance des fréquences alléliques. En appliquant la formule de la leçon précédente (p = D + H/2) :
p′ = p² + ½(2pq) = p² + pq = p(p + q) = p × 1 = p
et de même q′ = q. Les fréquences alléliques sont donc inchangées et redonneront à la génération suivante les mêmes fréquences génotypiques : l'équilibre est stable et se maintient indéfiniment tant que les conditions demeurent réunies.
Image 1 — en préparationDescription
Schéma scientifique pédagogique de style manuel scolaire, illustration vectorielle plate, couleurs sobres et contrastées, présentant un échiquier de croisement sous forme d'un grand carré divisé en quatre cases égales. Au-dessus du tableau, une ligne portant les gamètes femelles : une bille bleue annotée « A, fréquence p » et une bille orange annotée « a, fréquence q ». À droite du tableau, une colonne portant les gamètes mâles avec les mêmes symboles et fréquences. Dans les quatre cases apparaissent les zygotes obtenus avec leur fréquence : case bleu foncé « (A//A) — p² », deux cases bleu clair « (A//a) — pq » chacune, case orange « (a//a) — q² ». Sous le tableau, une barre horizontale segmentée en proportions inégales représente le bilan de la génération suivante, annotée « p² + 2pq + q² = 1 », reliée par une flèche courbe ascendante à la mention « les fréquences alléliques restent p et q ». Fond blanc épuré, annotations en français, rendu schématique rigoureux et non abstrait
5. Deux conséquences à ne pas confondre
La constance des fréquences alléliques : p et q ne changent pas au fil des générations. Cette conséquence vaut quelle que soit la structure génotypique initiale de la population.
L'établissement de l'équilibre génotypique : les fréquences génotypiques deviennent p², 2pq et q² dès la première génération issue de croisements aléatoires, et le restent ensuite.
Cette seconde conséquence concerne un gène autosomique à deux allèles. Pour un gène porté par le chromosome X, l'équilibre s'établit progressivement (voir 7.2).
6. Utilisations de la loi dans le calcul
6.1 Calcul des fréquences alléliques en cas de dominance complète
Seul le phénotype récessif correspond à un génotype unique et connu : (a//a). D'où, sous l'hypothèse d'équilibre :
q = √f(a//a) puis p = 1 − q
C'est le principal intérêt pratique de la loi : lever l'obstacle rencontré à la fin de la leçon 36.
6.2 Calcul de la fréquence des porteurs
Les porteurs sains sont les hétérozygotes (A//a), de fréquence 2pq. Il faut distinguer deux calculs souvent confondus :
proportion de porteurs dans l'ensemble de la population : 2pq
proportion de porteurs parmi les individus non atteints : 2pq / (1 − q²)
Pour de faibles valeurs de q, 2pq est très supérieur à q² : avec q = 0,01, les malades représentent 1 individu sur 10 000 et les porteurs environ 1 sur 50. Cette observation est la clé du maintien des allèles récessifs délétères dans une population malgré la sélection qui s'exerce contre eux : l'immense majorité de ces allèles se trouve protégée à l'état hétérozygote, où elle échappe à la sélection.
Image 2 — en préparationDescription
Schéma scientifique pédagogique de style manuel scolaire, illustration vectorielle plate, graphique à deux axes : l'axe des abscisses porte « fréquence de l'allèle récessif q » graduée de 0 à 1, l'axe des ordonnées porte « fréquence » graduée de 0 à 1. Deux courbes apparaissent : une courbe rouge concave annotée « fréquence des malades q² », très lente à décoller au voisinage de zéro, et une courbe bleue en arche annotée « fréquence des porteurs 2pq », culminant à 0,5 pour q = 0,5. Une droite verticale en pointillés en q = 0,1 coupe les deux courbes, avec deux étiquettes explicitant l'écart : « q² = 0,01 » et « 2pq = 0,18 », et une flèche désignant la zone proche de zéro avec la mention « aux faibles fréquences, les porteurs sont bien plus nombreux que les malades ». Fond blanc épuré, grille légère, annotations en français, rendu scientifiquement rigoureux et non abstrait
7. Cas particuliers
7.1 Gène à allélisme multiple
La loi se généralise par développement du carré de la somme des fréquences. Pour trois allèles de fréquences p, q et r :
(p + q + r)² = p² + q² + r² + 2pq + 2pr + 2qr = 1
où les termes carrés correspondent aux homozygotes et les doubles produits aux hétérozygotes.
Application type (système ABO) : le phénotype O correspond à un seul génotype et donne donc directement la fréquence allélique : f(O) = r², d'où r = √f(O). Les autres allèles se déduisent ensuite des phénotypes composés : f(A) + f(O) = (p + r)², d'où p = √[f(A) + f(O)] − r.
7.2 Gène porté par le chromosome X
Il faut traiter les deux sexes séparément, puisque le nombre d'allèles par individu diffère :
Sexe
Génotypes
Fréquences attendues à l'équilibre
Mâles (hémizygotes)
X^A//Y , X^a//Y
p et q
Femelles
X^A//X^A , X^A//X^a , X^a//X^a
p², 2pq et q²
Deux conséquences importantes :
la fréquence du phénotype récessif vaut q chez les mâles et q² chez les femelles. Les maladies récessives liées à X sont donc bien plus fréquentes chez les mâles : avec q = 0,08, 8 % des mâles sont atteints contre seulement 0,64 % des femelles ;
lorsque la fréquence allélique diffère initialement entre les sexes, l'équilibre n'est pas atteint en une génération : les fréquences se rapprochent progressivement, par oscillations amorties au fil des générations, car un mâle reçoit son unique X de sa mère alors qu'une femelle en reçoit un de chaque parent.
8. Tester l'équilibre et interpréter les écarts
8.1 Méthode de vérification
Pour se prononcer sur une population donnée :
calculer les fréquences alléliques par dénombrement direct à partir des effectifs observés (p = D + H/2) ;
calculer les effectifs attendus en multipliant p², 2pq et q² par l'effectif total N ;
comparer observés et attendus, et mesurer la significativité de l'écart par un test du khi-deux (χ²).
Si l'écart n'est pas significatif, la population est considérée comme compatible avec l'équilibre ; s'il l'est, elle en est écartée.
8.2 Lecture du résultat
Un écart aux valeurs attendues n'est pas une erreur de calcul mais une donnée biologique à interpréter, en la rapportant à la condition vraisemblablement violée :
Type d'écart observé
Hypothèse explicative privilégiée
Déficit net en hétérozygotes et excès d'homozygotes, p et q inchangés
rupture de la panmixie : consanguinité, croisements préférentiels, ou sous-populations confondues dans le comptage
Déficit d'un génotype particulier par rapport à l'attendu
sélection naturelle contre ce génotype (viabilité ou fécondité moindre)
Variation de p et q d'une génération à l'autre dans un sens constant
sélection naturelle, migration ou pression mutationnelle
Variation de p et q sans direction constante dans une population de petit effectif
dérive génétique
9. Applications numériques résolues
Application (a) : de la fréquence allélique à la proportion du phénotype dominant
Dans une population à l'équilibre, un caractère est déterminé par deux allèles avec dominance complète, et la fréquence de l'allèle récessif vaut q = 0,5. Quelle est la proportion d'individus de phénotype dominant ?
q = 0,5 donc p = 0,5
fréquence du phénotype récessif = q² = 0,25
fréquence du phénotype dominant = p² + 2pq = 0,25 + 0,50 = 0,75, soit 75 %
ou directement : 1 − q² = 1 − 0,25 = 0,75 ✔
Piège fréquent : la réponse n'est ni 50 % (valeur de p, fréquence allélique et non phénotypique), ni 25 % (valeur de p² seul, c'est-à-dire les homozygotes dominants sans les hétérozygotes).
Application (b) : maladie récessive autosomique
Une maladie héréditaire récessive atteint 1 individu sur 10 000 dans une population à l'équilibre.
fréquence des malades : q² = 1/10 000 = 0,0001
fréquence de l'allèle responsable : q = √0,0001 = 0,01
fréquence de l'allèle sain : p = 1 − 0,01 = 0,99
fréquence des porteurs dans l'ensemble de la population : 2pq = 2 × 0,99 × 0,01 = 0,0198, soit environ 2 %, c'est-à-dire près d'un individu sur 50
proportion de porteurs parmi les non-malades : 2pq/(1 − q²) = 0,0198/0,9999 ≈ 0,0198 (l'écart est négligeable, q² étant très petit)
Lecture : les porteurs sont environ 200 fois plus nombreux que les malades (0,0198 contre 0,0001). C'est ce qui explique l'apparition brutale d'une maladie récessive dans une famille sans antécédent.
Application (c) : maladie récessive liée au chromosome X
Dans une population à l'équilibre, 8 % des hommes sont daltoniens.
chez les hommes : fréquence phénotypique = fréquence allélique, donc q = 0,08 et p = 0,92
fréquence des femmes atteintes : q² = (0,08)² = 0,0064, soit 0,64 %
fréquence des femmes conductrices : 2pq = 2 × 0,92 × 0,08 = 0,1472, soit environ 14,7 %
Lecture : la fréquence d'atteinte est environ 12,5 fois plus élevée chez les hommes (soit 1/q) ; plus l'allèle est rare, plus cet écart se creuse.
Application (d) : vérification de l'équilibre
Population de 1 000 individus pour un gène codominant : 200 (A//A), 400 (A//a), 400 (a//a).
comparaison : observés 200/400/400 contre attendus 160/480/360
Conclusion : excès d'homozygotes et déficit d'hétérozygotes, alors que p et q restent calculables tels quels. Ce type d'écart oriente d'abord vers une rupture de la panmixie (consanguinité ou structuration de la population en sous-groupes), et non vers une modification des fréquences alléliques.
10. Erreurs fréquentes et pièges d'examen
Confondre la fréquence du phénotype dominant avec p² : le phénotype dominant réunit p² et 2pq ; le plus simple est de calculer 1 − q².
Prendre q pour la fréquence des malades : la fréquence des malades est q², et q = √q².
Appliquer q = √R sans mentionner l'hypothèse d'équilibre : la relation n'est valable que dans le cadre du modèle de Hardy-Weinberg, non de façon absolue.
Croire qu'une population hors équilibre génotypique est une population en cours d'évolution : l'évolution est la modification des fréquences alléliques ; la population peut revenir à l'équilibre génotypique en une génération avec les mêmes p et q.
Affirmer qu'un allèle dominant augmente en fréquence parce qu'il est dominant : la dominance est une relation d'expression entre allèles au sein de l'individu et n'a aucun effet sur les fréquences alléliques ; un allèle dominant rare reste rare.
Oublier la généralisation en cas d'allélisme multiple : il faut développer (p+q+r)² et non appliquer la formule à deux allèles.
Appliquer p², 2pq et q² aux mâles pour un gène porté par X : le mâle est hémizygote, ses fréquences génotypiques valent directement p et q.
Confondre la proportion de porteurs dans la population (2pq) et parmi les non-malades 2pq/(1−q²) : l'énoncé doit être lu attentivement pour identifier la référence demandée.
Supposer qu'une rupture de la panmixie modifie p et q : la consanguinité ne fait que redistribuer les allèles entre génotypes ; p et q restent inchangés.
Croire que le grand effectif est requis pour la constance des allèles chez les individus : la condition sert à annuler les fluctuations statistiques du tirage gamétique, ce qui sera étudié sous le nom de dérive génétique.
Mener le test du χ² sur des fréquences : la comparaison porte toujours sur les effectifs observés et attendus, jamais sur les proportions.
Tenir la loi pour invalidée parce que ses conditions ne sont pas réalisées dans la nature : sa valeur est méthodologique, comme modèle de référence, et l'écart du réel au modèle est précisément ce qui révèle les facteurs d'évolution.
11. Bilan
La loi de Hardy-Weinberg est un modèle théorique de population idéale, qui remplit deux fonctions : le calcul lorsque le dénombrement direct est impossible, et la référence à laquelle se mesure tout écart.
Ses conditions sont au nombre de cinq : effectif très grand, panmixie et pangamie, absence de mutation, absence de sélection, absence de migration — chacune écartant un facteur évolutif étudié dans les leçons suivantes.
À l'équilibre : f(A//A) = p², f(A//a) = 2pq, f(a//a) = q², de somme (p + q)² = 1.
Les relations se déduisent de l'échiquier de croisement, et le calcul établit que p′ = p : les fréquences alléliques sont constantes au fil des générations tant que les conditions sont réunies.
Deux conséquences distinctes : la constance des fréquences alléliques (valable quelle que soit la structure initiale) et l'établissement de l'équilibre génotypique (atteint en une génération pour un gène autosomique à deux allèles).
En cas de dominance complète : q = √f(phénotype récessif) puis p = 1 − q ; et fréquence du phénotype dominant = 1 − q².
La fréquence des porteurs 2pq dépasse largement celle des malades q² pour de faibles valeurs de q, ce qui explique le maintien des allèles récessifs délétères.
Allélisme multiple : développement de (p + q + r)². Gène porté par X : p et q chez les mâles, p², 2pq et q² chez les femelles, avec établissement progressif de l'équilibre.
L'équilibre se teste en comparant effectifs observés et attendus (test du χ²), et l'écart s'interprète en le rapportant à la condition violée.
Un déficit d'hétérozygotes à p et q inchangés oriente vers une rupture de la panmixie ; une modification de p et q oriente vers la sélection, la migration, la mutation ou la dérive génétique.
Leçon suivante
Leçon 38 : les mutations et la migration, facteurs de variation d'une population. Après avoir défini les conditions qui garantissent la stabilité de la structure génétique, nous étudions les facteurs qui la rompent, en commençant par les deux qui approvisionnent la population en diversité allélique : la mutation, qui crée les allèles nouveaux, et la migration, qui les transfère d'une population à l'autre.